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浅谈方程求根中的几种数值计算方法

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随着中国超级计算机的进一步崛起,大规模科学与工程计算更加蓬勃发展。由于很多关于大型方程的求根问题都是一些病态问题,在求根过程中通过迭代产生的误差可能会非常大。国内外对非线性方程的迭代求解问题的研究仍然处于蓬勃发展的阶段,发表的迭代方法求解方程方面的论文很多,提出的很多卓有成效的迭代公式主要基于这种思想,基于这一事实,本文就方程求根中的几种数值计算方法进行讨论研究,将数值实现的代数曲线基本理论运用到实际中,从而解决更多的实际问题。

【关键词】方程求根  数值计算  二分法 牛顿迭代法 弦截迭代法 图解法;更多范文
浅谈方程求根中的几种数值计算方法
对于求解多项式方程,数百年来,虽然新的迭代格式层出不穷,然而几乎所有的迭代法的研究都是以Newton法的证明技巧和分析方法为基础的。有关Newton法的收敛性方面的研究数不胜数,其中有很多理论结果都被借鉴。无论是理论研究还是实际应用,Newton迭代在迭代法的历史上所起的作用是其它任何迭代法所无法替代的。
牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法,它是数值分析中最重要的方法之一,它不仅适用于方程或方程组的求解,还常用于微分方程和积分方程求解。用迭代法解非线性方程时,如何构造迭代函数是非常重要的,那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢?牛顿迭代法就是常用的方法之一。
16世纪时,意大利数学家塔塔利亚和卡当等人,发现了一元三次方程的求根公式,费拉里找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观,以为马上就可以写出五次方程、六次方程,甚至更高次方程的求根公式了。然而,时光流逝了几百年,谁也找不出这样的求根公式。
大约三百年之后,在1825年,挪威学者阿贝尔(Abel)终于证明了:一般的一个代数方程,如果方程的次数n≥5,那么此方程不可能用根式求解。即不存在根式表达的一般五次方程求根公式。这就是著名的阿贝尔定理。现实中,如果按卡当等人的求一元三次以上方程的方法,时间太长,计算量大,效率极低,有没有更高效的方法,答案是牛顿迭代法。

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