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微分中值定理及其应用

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摘  要:微分中值定理是构成微分学基础理论的重要内容,是微分学中的基本定理,是研究函数性质的有力工具。本文以微分中值定理及其应用为研究课题,结合微分中值定理的主要内容,对三大定理进行证明,并梳理三个定理之间的关系。在此基础上,对微分中值定理进行深层阐述,并给出微分中值定理具体的应用与推广方案。
关键词:微分中值定理;应用;推广;更多范文
微分中值定理及其应用
微分中值定理包括柯西中值定理、泰勒中值定理、拉格朗日中值定理、罗尔中值定理,是这一系列中值定理的总称。微分中值定理是研究函数的有力工具,也是微积分的理论基础。在微分中值定理中,泰勒中值定理建立了函数值与高阶导数之间的关系,拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系。在求极限、确定方程根的存在性、描述函数的性质、证明不等式、求近似值等问题上,微分中值定理具有明确的运动学意义和几何意义。本文主要分析和研究微分中值定理的应用及推广,详细阐述微分中值定理的发展背景包括发展历史以及定理之间的相互关系,重点对三大微分中值定理罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的基本推导过程以及函数意义进行阐述,并将其应用到证明根的存在、求极限、函数连续性、求近似值等方面,归纳、推导了几个新的形式,拓宽了微分中值定理的使用范围。
在古希腊时期,数学家们研究几何学时,发现了拉格朗日定理的一个特例:“穿过抛物线顶点并与抛物线相切的线平行于弧形拱的底部。”阿基米德(德国阿基米德,公元前287-1674年)利用这个结果找到抛物线包围图的区域。微分中值定理的几何形式最初是由著名数学家瓦列里(1598-1674)在求解平面切线和三维图形(《不可分量几何学》卷一)。瓦列里定理这个定理的内容是:“曲线上必须有一点的切线平行于该切线的弦”。


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