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论高中数联赛中的组合问题及其解题策略

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高中数联赛中的数学竞赛试题具有综合性强、涉及面广、技巧性突出、解题方法灵活等特点。学生在面对数学竞赛题目无法利用已知的模型加以解决时,就需要学会考虑采用其他的解题策略。
基于该背景,本文以高中数联赛中的组合问题及其解题策略为研究对象,首先分析了竞赛数学中组合问题的有关概念,教育价值以及学习迁移理论,HPM理论等方面相关的研究。再将竞赛数学中的组合问题的解决策略分为特殊化策略,一般化策略,模型转化策略,接着重点介绍了组合问题中常见的几种解法:即捆绑法,个办法,插空法和优先法等,最后结合伯努力——欧拉装错信问题和染色问题具体阐述了组合问题的解题过程及思维方法的运用。以期为参加高中数联赛的学生掌握知识、提高能力、启迪数学思维与发展助力。
关键词:高中数学联赛;组合问题;解题策略;学习迁移 ;更多范文
论高中数联赛中的组合问题及其解题策略
装错信笺这类经典问题,是由瑞士著名的数学家伯努力提出来的.它的原始模型指的是:某人写了封信,并在二个信封上写下对应的地址。问:将所有信笺全部装错的方法共有多少种?
著名数学家欧拉对这类问题产生了兴趣,称其为“组合理论的一个妙题”,并独自完成了这道题的解答。数学家欧拉主要利用递推的方法,构造出递推数列
而难点就在于后续的求通项问题后世也有人另辟踐径,直接利用容斥原理得到其表达式:
这里针对伯努力--欧拉装错信模型在高中数联赛组合问题中的应用进行案例分析和论述:
有位同学在同一天的上、下午参力“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方法共有种(用数字作答)
解题过程如下所示:
为了方便论述,不妨4位同学分别为甲,乙,丙,丁,“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”项目分别用A, B, C, D, d表示.依题意则上午只能测A,B,C,d,下午只能测A,B,C,d。
第一步:上午安排甲,乙,丙,丁测A,B,C,d四个项目,共有种方法.
第二步:下午安排甲,乙,丙,丁测A,B,C,D四个项目.
若测d项目的同学正好测D项目,则上午测A,B,C项目的同学,下午不能测A, B, C,则这与伯努力一一欧拉装错信笺问题n=3的情形同构,此时有种安排法;
若测d项目的同学下午不测D项目,则上午测咸双Cd项目的同学,下午不能测A,B,C,D,则这与伯努力一一欧拉装错信笺问题n=4的情形同构,此时有种安排法;
由乘法原理和加法原理得:不同的安排方法有:
本题几乎完全将原来的模型隐藏于实际生活情景中,体现了数学的应用价值。另外,此题有两点创新:一是局部运用经典问题,二是将问题的运用范围由相同问题不能重复,拓宽为同类问题不能重复。

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