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定积分的计算方法与技巧

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微积分作为数学分析学科中的一个重要分支,定积分的计算是积分学中一个重要组成部分。数学分析中定积分的求法既是数学分析的基础,也是学习数学分析必须掌握的。无论是在解决数学问题方面,还是在实际问题的应用上,都相当广泛。本文对几种定积分的计算方法和技巧进行分析,并加以解释。 能够使我们熟练的把握定积分的基本求法,灵活运用定积分的解题技巧。

【关键词】定积分;解题技巧;函数;更多范文
定积分的计算方法与技巧
进入19世纪,数学更陷入自相矛盾的处境。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成绩远远超过人们的预料,但是正如18世纪的人所指出的那样,大量的数学结构没有逻辑基础,因此,不能保证数学是正确无误的。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西决定在数的基础上建立微积分学。为什么在数的基础上呢?因为牛顿之后的英国人,曾尝试用几何学使微积分严格化,但都失败了。对于柯西来讲,很明显,几何学并不是合适的基础,柯西同样很明智地把微积分建立在极限的概念上,这一正确方法也被数学界思维明锐者所推崇。柯西于1820年研究了极限定义,并创造性地用极限理论把微积分学中的定理加以严格的系统的证明,使微积分学有了较坚实的理论基础,同时柯西也因之成为加固微积分学基础的第一位巨匠。但柯西工作中仍存在着两点主要的不足。其一:他的极限定义用了描述性语言“无限的趋近”,“随意小”,不够精确。这一点由德国数学家魏尔斯特拉斯给出精确描述数列极限的“ε-δ”方法和函数极限的“ε-δ”方法,把微积分奠基于算术概念的基础上,获得了圆满解决。其二:他对单调有界定理的证明借助了几何直觉。魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于70年代各自建立了自己完整的实数体系,这样数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。
所以微积分的理论从发展到成熟,前后经历了2000多年时间,这说明古人发展和接受这个理论并不顺利。今天的学生在学习时产生理解上的困难是毫不奇怪的,他们也许可以凭借公式熟练地进行求极限、导数与积分的计算,但却可能不知道这种表面化计算的内在含义。因此,选择这一内容作为研究的对象,有其必要性和现实性。
定积分概念涉及到无限、极限等概念,而且新引入许多抽象符号,学生在此两方面的理解存在很大障碍;对函数、函数图像以及抽象函数概念理解的不透彻也成为学生对定积分概念理解的障碍。

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